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欧拉函数及其在数字密算术中的应用

欧拉函数是一个数论中的重要概念，通常表示为φ(n)，用来计算小于n且与n互质的正整数个数。该函数的通式为：

φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × (1 - 1/p₃) × … × (1 - 1/p_k)

其中，p₁, p₂, ..., p_k是n的所有素因数。该公式表达了n及其所有素因数之间的关系，极为重要。

在数字密算术领域，φ(n)起着关键作用。例如，经典的费马小定理可以推导为：

a^{φ(n)} ≡ 1 mod n (a和n互质)

此外，一种值得注意的φ(n)的变体表达式为：

φ(n) = (n × Σ(1/p)) / 2

其中，Σ(1/p)是n的所有素因数p的倒数之和。这种表达式揭示了数的质因子在均值运算中的特殊关系。

以下是基于PHP实现了的欧拉函数计算器示例代码：

int euler(int n) {    int cnt = n;    for (int i = 2; i <= n; i++) {        if (n % i == 0) {            while (n % i == 0) {                n /= i;            }            cnt -= cnt / i;        }    }    return cnt;}

程序逻辑首先遍历可能的素因数，从2到n，检验n是否可以被当前因子整除。当发现一个因子i时，会将i从n中全数除去，并更新计数器cnt，减去与i相关的部分。

需要注意的是，程序中的n会被缓存到局部变量中操作，以避免污染原始n值。最终，返回的cnt即为欧拉函数的值。

一般而言，此算法时间复杂度较高，但对于小规模输入（如n小于1000000），效率尚可。进一步优化可以考虑预存所有质数，减少循环次数。

希望以上内容对您有所帮助！

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